Numerické modelování elektromagnetických polí se s rozvojem výpočetní techniky a neustále rostoucí výkonností počítačů stalo spolu s optimalizačními technikami nepostradatelnou složkou návrhu konstrukcí nových elektrotechnických a elektronickýchzařízení i zařízení z ostatních oblastí technické praxe. Numerické modelování je také bezesporu nedílnou součástí komplexních analýz chování časoprostorových polí, které jsou důležité pro posouzení nových požadavků na kvalitu zařízení jako je elektromagnetická kompatibilita. Složité problémy řešené v současné technické praxi nelze zvládnout ve většině případů jinými prostředky než pomocí vhodných numerických metod za použití výkonných počítačů.
Aproximační funkce tedy součtem funkcí tvarových. Aproximační funkci uzlu prvku (1) označíme )()1(
1 na
prvku určena rovnicí přímky, která rovna uzlu sousedním uzlu Dále nulová
mimo prvek e1.3a) naznačena
lomenou čarou. Tvarovým funkcím přisoudíme
jako horní index číslo prvku, kterém jsou definovány.
. splnění
okrajových podmínek třeba položit neznámá hodnota φ2, pro kterou je
třeba sestavit rovnici. 4. Pro ilustraci ukážeme následujícím příkladě odvození aproximační funkce.
Obě dílčí funkce jednotlivých prvcích nazývají funkce tvarové, protože určují tvar
aproximace (lineární, parabolická). Víme však, integrací per partes lze snížit řád rovnice jeden.FEKT Vysokého učení technického Brně
funkcí nelze použít pro řešení diferenciálních rovnic vůbec, neboť dosazení konstantních
hodnot jsou derivace nulové. Oblast rozdělena
na dva prvky (elementy) e1, třemi uzly u1, u2, souřadnicích 0,0; 0,5;
x3 1,0.3b) Obr. MKP tedy nevyužívají aproximaci polynomy vyšších řádů dlouhém
intervalu, ale naopak mnoha malých intervalech lineární nebo nejvýše kvadratickou
aproximaci. Aproximované řešení lze zapsat
)()()( 332211a xNxNxN φφφφ ++=
Uzlové hodnoty potenciálu jsou φ1, φ2, φ3; N1, Ν2, jsou aproximační funkce. 4.
Kubické vyšší stupně tvarových funkcí nepoužívají, neboť řešení tendenci oscilovat.
Příklad 4. 4. Zdálo se, rovnice druhého řádu budou vyžadovat alespoň
kvadratickou aproximaci.
>∈<−= 5,0;0pro21)()1(
1 xxxN
Podobně )()2(
3 nenulová prvku (2) nulová mimo tento interval
>∈<−= 0,1;5,0pro12)()2(
3 xxxN
Platí ).()(),()( )2(
33
)1(
11 xNxNxNxN Aproximační funkce vyjádřena každém z
prvků jinou, tzv. 4. Obr.
Tento princip platí pro parciální diferenciální rovnice. Proto vystačíme pro rovnici řádu
s lineární aproximací.3a), dán výrazem
φ(x) –12 x2
+ +2.3c) patrno sestavení aproximace.
Řešení: Hledaná lineární funkce aproximující potenciál Obr. tvarovou funkcí mimo prvek nulová
>∈<−=>∈<= 0,1;5,0pro22)(5,0;0pro2)( )2(
2
)1(
2 xxxNxxxN
Výsledná aproximační funkce )()()( )2(
2
)1(
22 xNxNxN .1 Aproximujte potenciál prostoru mezi rovinnými elektrodami obě
s potenciálem Průběh potenciálu mezi elektrodami, viz Obr.
Přesnější řešení dosáhneme
• záměnou lineární aproximace kvadratickou,
• hustějším dělením sítě prvků. Elektrody jsou umístěny Mezi elektrodami je
náboj hustotě C/m3
.
Funkce prvku jsou současně aproximační tvarové
