Numerické modelování elektromagnetických polí se s rozvojem výpočetní techniky a neustále rostoucí výkonností počítačů stalo spolu s optimalizačními technikami nepostradatelnou složkou návrhu konstrukcí nových elektrotechnických a elektronickýchzařízení i zařízení z ostatních oblastí technické praxe. Numerické modelování je také bezesporu nedílnou součástí komplexních analýz chování časoprostorových polí, které jsou důležité pro posouzení nových požadavků na kvalitu zařízení jako je elektromagnetická kompatibilita. Složité problémy řešené v současné technické praxi nelze zvládnout ve většině případů jinými prostředky než pomocí vhodných numerických metod za použití výkonných počítačů.
splnění
okrajových podmínek třeba položit neznámá hodnota φ2, pro kterou je
třeba sestavit rovnici.1 Aproximujte potenciál prostoru mezi rovinnými elektrodami obě
s potenciálem Průběh potenciálu mezi elektrodami, viz Obr.3a), dán výrazem
φ(x) –12 x2
+ +2.
Řešení: Hledaná lineární funkce aproximující potenciál Obr.
Obě dílčí funkce jednotlivých prvcích nazývají funkce tvarové, protože určují tvar
aproximace (lineární, parabolická). Tvarovým funkcím přisoudíme
jako horní index číslo prvku, kterém jsou definovány. Oblast rozdělena
na dva prvky (elementy) e1, třemi uzly u1, u2, souřadnicích 0,0; 0,5;
x3 1,0. Elektrody jsou umístěny Mezi elektrodami je
náboj hustotě C/m3
.
>∈<−= 5,0;0pro21)()1(
1 xxxN
Podobně )()2(
3 nenulová prvku (2) nulová mimo tento interval
>∈<−= 0,1;5,0pro12)()2(
3 xxxN
Platí ). Víme však, integrací per partes lze snížit řád rovnice jeden. Pro ilustraci ukážeme následujícím příkladě odvození aproximační funkce.FEKT Vysokého učení technického Brně
funkcí nelze použít pro řešení diferenciálních rovnic vůbec, neboť dosazení konstantních
hodnot jsou derivace nulové.
Funkce prvku jsou současně aproximační tvarové.
Přesnější řešení dosáhneme
• záměnou lineární aproximace kvadratickou,
• hustějším dělením sítě prvků. tvarovou funkcí mimo prvek nulová
>∈<−=>∈<= 0,1;5,0pro22)(5,0;0pro2)( )2(
2
)1(
2 xxxNxxxN
Výsledná aproximační funkce )()()( )2(
2
)1(
22 xNxNxN . 4. 4. Obr.3b) Obr.()(),()( )2(
33
)1(
11 xNxNxNxN Aproximační funkce vyjádřena každém z
prvků jinou, tzv. 4. 4.3a) naznačena
lomenou čarou. Zdálo se, rovnice druhého řádu budou vyžadovat alespoň
kvadratickou aproximaci. MKP tedy nevyužívají aproximaci polynomy vyšších řádů dlouhém
intervalu, ale naopak mnoha malých intervalech lineární nebo nejvýše kvadratickou
aproximaci.
Příklad 4. Aproximační funkce tedy součtem funkcí tvarových.
Tento princip platí pro parciální diferenciální rovnice. Proto vystačíme pro rovnici řádu
s lineární aproximací. Aproximační funkci uzlu prvku (1) označíme )()1(
1 na
prvku určena rovnicí přímky, která rovna uzlu sousedním uzlu Dále nulová
mimo prvek e1. Aproximované řešení lze zapsat
)()()( 332211a xNxNxN φφφφ ++=
Uzlové hodnoty potenciálu jsou φ1, φ2, φ3; N1, Ν2, jsou aproximační funkce.3c) patrno sestavení aproximace.
Kubické vyšší stupně tvarových funkcí nepoužívají, neboť řešení tendenci oscilovat.
