Numerické modelování elektromagnetických polí se s rozvojem výpočetní techniky a neustále rostoucí výkonností počítačů stalo spolu s optimalizačními technikami nepostradatelnou složkou návrhu konstrukcí nových elektrotechnických a elektronickýchzařízení i zařízení z ostatních oblastí technické praxe. Numerické modelování je také bezesporu nedílnou součástí komplexních analýz chování časoprostorových polí, které jsou důležité pro posouzení nových požadavků na kvalitu zařízení jako je elektromagnetická kompatibilita. Složité problémy řešené v současné technické praxi nelze zvládnout ve většině případů jinými prostředky než pomocí vhodných numerických metod za použití výkonných počítačů.
intenzity hranici úloha nazývá Neumannova.
3. Zkráceně budeme značit úlohy
1D, 3D. úloze
Neumannově jednoznačně určen potenciál jen tehdy, jestliže části hranice určen i
potenciál. 3.
Vnitřní vnější úloha
Při výpočtu pole uvnitř oblasti, jejíž hranici jsou zadané okrajové podmínky, např.1a). Rozměr
úlohy lze ovlivnit vhodnou volbou souřadnic.
v úloze podle Obr.
. Tak tomu
v případě rovinné nebo rotační symetrie, kdy sníží počet proměnných.1c).
φ1 φ2
5. Toto třídění důležité zejména
v numerických úlohách, nichž některé jsou vhodné pro řešení vnitřních vnějších úloh, jiné
pouze řešení úloh vnitřních. úloha. Problém
se převede problém vakua pole uvnitř oblasti vypočte Coulombova zákona. známé hraniční siločáře gradφ /∂n 0. intenzita
tečná ploše, proto zde /∂n Tento postup zřejmě opačný použití principu
zrcadlení, kde plocha předepsanou hodnotou odstraněna zavedením zrcadlového
obrazu. potenciální pole dvouvodičového vedení rovinná, tj.Modelování elektromagnetických polí 23
indukce Dn2 Dn1 nebo siločáře ∂φ/∂n= Potenciál rozhraní
dielektrik bude vždy spojitý. Když
vyloučíme bodové náboje, musí hledaná potenciálová funkce splňovat podmínky, které na
základě dosavadních poznatků můžeme formulovat takto:
1.
Poznamenejme ještě, pokud úloze zadán pouze potenciál hranice, nazývá úloha
Dirichletova, při zadání /∂n tj.
• třeba nalézt takové rozložení hustoty volného vázaného náboje elektrodách na
rozhraní mezi dielektriky σ’, které zajistí výše uvedené okrajové podmínky.1b) symetrický koaxiální kabel, jehož pole třeba nalézt. elektrodě bude mít potenciál předepsanou hodnotu φe.1a), mluvíme vnější úloze. Vystupují-li obě podmínky, mluvíme smíšené úloze. Skutečné okrajové
podmínky mohou být obecně složitější, neboť mohou zahrnovat kombinace potenciálu,
normálové derivace potenciálu, ale jejich integrály, jak uvidíme dále.
Úlohy mohou významně zjednodušit, vykazují-li geometrickou symetrii. 3. Např. 3. pole bodového náboje nebo vodivé
nabité koule úloha sférických souřadnicích, ale kartézských.
Symetrickou úlohu lze někdy zjednodušit využitím platných okrajových podmínek. vnitřních bodech obecně nehomogenní oblasti splňuje potenciálová funkce Poissonovu
nebo Laplaceovu rovnici
div gradε −
2. Jako
příklad Obr. Podle počtu
souřadnic rozeznáváme úlohy jedno-, dvou- trojrozměrné. 3. rozhraní dvou dielektrik mezi oblastmi Ω1, potenciál mění spojitě, tj. Např.
Vzhledem symetrii problému postačí počítat pole jednom kvadrantu podle Obr.
První postup vede řešení parciálních diferenciálních rovnic, druhý integrální rovnice.
4. 3.
Okrajovou podmínkou zde hranici S1, S2, S4. Tento požadavek ekvivalentní podmínce spojitosti tečné složky vektoru E. Toto třídění zavádí
v matematické fyzice, není však dostačující pro inženýrské výpočty.1b), mluvíme vnitřní úloze; počítáme-li pole neomezené oblasti, jak
je tomu Obr.
Formulace elektrostatické úlohy diferenciální rovnicí
Jako příklad elektrostatického problému uvažujme úlohu podle Obr
