Numerické modelování elektromagnetických polí se s rozvojem výpočetní techniky a neustále rostoucí výkonností počítačů stalo spolu s optimalizačními technikami nepostradatelnou složkou návrhu konstrukcí nových elektrotechnických a elektronickýchzařízení i zařízení z ostatních oblastí technické praxe. Numerické modelování je také bezesporu nedílnou součástí komplexních analýz chování časoprostorových polí, které jsou důležité pro posouzení nových požadavků na kvalitu zařízení jako je elektromagnetická kompatibilita. Složité problémy řešené v současné technické praxi nelze zvládnout ve většině případů jinými prostředky než pomocí vhodných numerických metod za použití výkonných počítačů.
Podle počtu
souřadnic rozeznáváme úlohy jedno-, dvou- trojrozměrné. intenzity hranici úloha nazývá Neumannova. intenzita
tečná ploše, proto zde /∂n Tento postup zřejmě opačný použití principu
zrcadlení, kde plocha předepsanou hodnotou odstraněna zavedením zrcadlového
obrazu. Např.
v úloze podle Obr.
φ1 φ2
5.
První postup vede řešení parciálních diferenciálních rovnic, druhý integrální rovnice. Jako
příklad Obr. potenciální pole dvouvodičového vedení rovinná, tj.
• třeba nalézt takové rozložení hustoty volného vázaného náboje elektrodách na
rozhraní mezi dielektriky σ’, které zajistí výše uvedené okrajové podmínky.
Formulace elektrostatické úlohy diferenciální rovnicí
Jako příklad elektrostatického problému uvažujme úlohu podle Obr. Skutečné okrajové
podmínky mohou být obecně složitější, neboť mohou zahrnovat kombinace potenciálu,
normálové derivace potenciálu, ale jejich integrály, jak uvidíme dále. 3.
4. Tento požadavek ekvivalentní podmínce spojitosti tečné složky vektoru E.
Okrajovou podmínkou zde hranici S1, S2, S4.1b), mluvíme vnitřní úloze; počítáme-li pole neomezené oblasti, jak
je tomu Obr. Když
vyloučíme bodové náboje, musí hledaná potenciálová funkce splňovat podmínky, které na
základě dosavadních poznatků můžeme formulovat takto:
1. vnitřních bodech obecně nehomogenní oblasti splňuje potenciálová funkce Poissonovu
nebo Laplaceovu rovnici
div gradε −
2. elektrodě bude mít potenciál předepsanou hodnotu φe. Např.
Poznamenejme ještě, pokud úloze zadán pouze potenciál hranice, nazývá úloha
Dirichletova, při zadání /∂n tj.
Symetrickou úlohu lze někdy zjednodušit využitím platných okrajových podmínek. Toto třídění zavádí
v matematické fyzice, není však dostačující pro inženýrské výpočty.
3.1b) symetrický koaxiální kabel, jehož pole třeba nalézt. Vystupují-li obě podmínky, mluvíme smíšené úloze.1c). Zkráceně budeme značit úlohy
1D, 3D.Modelování elektromagnetických polí 23
indukce Dn2 Dn1 nebo siločáře ∂φ/∂n= Potenciál rozhraní
dielektrik bude vždy spojitý. pole bodového náboje nebo vodivé
nabité koule úloha sférických souřadnicích, ale kartézských.
Úlohy mohou významně zjednodušit, vykazují-li geometrickou symetrii.
Vzhledem symetrii problému postačí počítat pole jednom kvadrantu podle Obr.
Vnitřní vnější úloha
Při výpočtu pole uvnitř oblasti, jejíž hranici jsou zadané okrajové podmínky, např.1a), mluvíme vnější úloze. 3. Rozměr
úlohy lze ovlivnit vhodnou volbou souřadnic. úloze
Neumannově jednoznačně určen potenciál jen tehdy, jestliže části hranice určen i
potenciál. 3.1a). 3. 3.
. rozhraní dvou dielektrik mezi oblastmi Ω1, potenciál mění spojitě, tj. Tak tomu
v případě rovinné nebo rotační symetrie, kdy sníží počet proměnných. Problém
se převede problém vakua pole uvnitř oblasti vypočte Coulombova zákona. známé hraniční siločáře gradφ /∂n 0. Toto třídění důležité zejména
v numerických úlohách, nichž některé jsou vhodné pro řešení vnitřních vnějších úloh, jiné
pouze řešení úloh vnitřních. úloha
