V této úvodní kapitole se pokusíme nastínit některé metodologické aspekty stavby fyziky a jejího začlenění do kontextu ostatní přírodovědy a vědeckého poznání vůbec. Tyto metodologické poznámky mohou být zajímavé např. pro studenty a zájemce nefyzikálních profesí, kteří si chtějí udělat ucelený obraz o fyzikálních aspektech zkoumání přírody.
Vločku Kochové můžeme sestrojit sérií postupných trojúhelníkových iterací
podle obrázku.iteraci připojíme prostřední třetině každé strany další rovnostranný
trojúhelník třetinové délce strany vznikne 6-cípá hvězda, jejíž obvod skládá úseků délky 1/3.htm (21 25) [15. nekonečné limitě počtu kroků n→Ą
dostáváme křivku, jejíž délka 3.N(ε). Přes daný útvar překryje
mřížka dimenzi danou topologickou dimenzí studovaného útvaru) velikosti buněk spočítá
se, kolik buněk obsahuje nějaké body sledovaného útvaru. Takováto křivka tedy "zaplňuje" prostor (rovinu)
poněkud více než pouhá přímka úsečka dimenzí jedná množinu útvar metricky "hustší",
než dalo očekávat jeho topologické dimenze D=1.2008 12:14:14]
. Toto provádíme znova a
znova nekonečna.
http://astronuklfyzika.(4/3)n nekonečná, avšak obsah plochy omezené touto nekonečnou čarou
zůstává konečný (menší než plocha kruhu opsaného původnímu trojúhelníku, neboť Kochové křivka opsanou
kružnici nikde neprotíná; sečtením konvergující nekonečné řady vychází, roven 8/5 obsahu výchozího
trojúhelníku). vyšší než dimenze topologická D=1. Lze dokázat, podobnostní dimenze je
rovna Hausdorffově dimenzi.iterace); obvod tedy
skládá tří úseků jednotkové délky.: Geometrie topologie prostoro
i=1ΣN
(1/ki)DS .
V nejjednodušším případě, kdy testovací mřížka zjemňuje faktorem (dvakrát hustší mřížka), počet
započítaných buněk mezi dvěma sobě jdoucími pokrytími násobí číslem 2D, kde fraktální dimenze. Při každém dalším kroku bude obrys čím dál jemněji členitý.asučUllmann V.1904
sestrojila švédská matematička Helge van Kochová jako geometrické modelové přiblížení obvodu sněhové vločky
- odtud též název "vločka Kochové". Podle výše uvedeného
definičního vzorce (ve zjednodušené verzi) tedy Hausdorffova dimenze křivky Kochové vychází: ln4/ln[1/
(1/3)] ln4/ln3 ≅1,261, tj. 2. Délka křivky při každém
kroku prodlouží vždy 1/3 (ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé).10.cz/Gravitace3-3. Pojem podobnostní dimenze tak umožňuje snadno stanovovat
fraktální dimenzi symetrických fraktalů geometrického původu.
Mřížková dimenze
U složitějších fraktálních útvarů, jejichž struktury nevykazují sobě-podobnost, lze fraktální dimenzi
stanovit empirickým způsobem "mřížkového počítání" (box-counting). Získá tím číslo které závisí na
velikosti buněk mřížky N(d) čím hustší mřížka (menší d), tím větší Mřížku postupně
zjemňujeme (zmenšujeme analyzujeme funkci N(d) tak, vyneseme log/log grafu [lnN
(d)↔ln(1/d)]. N(ε/3)→4. křivka Kochové; tuto křivku r. Stačí zjistit, kolik "kopií sama
sebe" jakém měřítku daná struktura obsahuje, její fraktální dimenze bude dána podílem
logaritmů těchto hodnot viz níže. další
iteraci opět každé prostřední třetině každé stran přidáme další menší trojúhelník. Vyjdeme rovnostranného trojúhelníka jednotkovou délkou strany (1.
Pro nejobvyklejší případ, faktory jsou stejné (ki=k), získáme podobnostní dimenzi řešením
rovnice i=1ΣN
(1/k)DS což dává lnN DH. Získanými body proložíme přímku, jejíž směrnice pak udává fraktální dimenzi
vyšetřovaného útvaru.
Příklady fraktálních útvarů
Kochova vločka
Jedním nejjednodušších nejzajímavějších příkladů, jak původně Eukleidovsky tvarově jednoduché
geometrické konstrukce může vzniknout složitý fraktální útvar, tzv. Při každé iteraci ε→ε/3 vzniknou (sobě-podobné) části, tj.
Pro sobě-podobné objekty dává tato metoda stejné hodnoty jako podobnostní Hausdorffova
dimenze; však snadno algoritmizovatelná funguje pro složité fraktální útvary
