V této úvodní kapitole se pokusíme nastínit některé metodologické aspekty stavby fyziky a jejího začlenění do kontextu ostatní přírodovědy a vědeckého poznání vůbec. Tyto metodologické poznámky mohou být zajímavé např. pro studenty a zájemce nefyzikálních profesí, kteří si chtějí udělat ucelený obraz o fyzikálních aspektech zkoumání přírody.
Lze dokázat, podobnostní dimenze je
rovna Hausdorffově dimenzi.1904
sestrojila švédská matematička Helge van Kochová jako geometrické modelové přiblížení obvodu sněhové vločky
- odtud též název "vločka Kochové". Získá tím číslo které závisí na
velikosti buněk mřížky N(d) čím hustší mřížka (menší d), tím větší Mřížku postupně
zjemňujeme (zmenšujeme analyzujeme funkci N(d) tak, vyneseme log/log grafu [lnN
(d)↔ln(1/d)].asučUllmann V. 2.cz/Gravitace3-3.2008 12:14:14]
. Stačí zjistit, kolik "kopií sama
sebe" jakém měřítku daná struktura obsahuje, její fraktální dimenze bude dána podílem
logaritmů těchto hodnot viz níže.: Geometrie topologie prostoro
i=1ΣN
(1/ki)DS . Přes daný útvar překryje
mřížka dimenzi danou topologickou dimenzí studovaného útvaru) velikosti buněk spočítá
se, kolik buněk obsahuje nějaké body sledovaného útvaru.10. křivka Kochové; tuto křivku r. Toto provádíme znova a
znova nekonečna. Pojem podobnostní dimenze tak umožňuje snadno stanovovat
fraktální dimenzi symetrických fraktalů geometrického původu.
Příklady fraktálních útvarů
Kochova vločka
Jedním nejjednodušších nejzajímavějších příkladů, jak původně Eukleidovsky tvarově jednoduché
geometrické konstrukce může vzniknout složitý fraktální útvar, tzv. vyšší než dimenze topologická D=1. Při každém dalším kroku bude obrys čím dál jemněji členitý. Vločku Kochové můžeme sestrojit sérií postupných trojúhelníkových iterací
podle obrázku.htm (21 25) [15.iteraci připojíme prostřední třetině každé strany další rovnostranný
trojúhelník třetinové délce strany vznikne 6-cípá hvězda, jejíž obvod skládá úseků délky 1/3. Vyjdeme rovnostranného trojúhelníka jednotkovou délkou strany (1.
http://astronuklfyzika. Při každé iteraci ε→ε/3 vzniknou (sobě-podobné) části, tj. Takováto křivka tedy "zaplňuje" prostor (rovinu)
poněkud více než pouhá přímka úsečka dimenzí jedná množinu útvar metricky "hustší",
než dalo očekávat jeho topologické dimenze D=1. Délka křivky při každém
kroku prodlouží vždy 1/3 (ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé).iterace); obvod tedy
skládá tří úseků jednotkové délky. Podle výše uvedeného
definičního vzorce (ve zjednodušené verzi) tedy Hausdorffova dimenze křivky Kochové vychází: ln4/ln[1/
(1/3)] ln4/ln3 ≅1,261, tj.N(ε). nekonečné limitě počtu kroků n→Ą
dostáváme křivku, jejíž délka 3.(4/3)n nekonečná, avšak obsah plochy omezené touto nekonečnou čarou
zůstává konečný (menší než plocha kruhu opsaného původnímu trojúhelníku, neboť Kochové křivka opsanou
kružnici nikde neprotíná; sečtením konvergující nekonečné řady vychází, roven 8/5 obsahu výchozího
trojúhelníku).
Mřížková dimenze
U složitějších fraktálních útvarů, jejichž struktury nevykazují sobě-podobnost, lze fraktální dimenzi
stanovit empirickým způsobem "mřížkového počítání" (box-counting).
V nejjednodušším případě, kdy testovací mřížka zjemňuje faktorem (dvakrát hustší mřížka), počet
započítaných buněk mezi dvěma sobě jdoucími pokrytími násobí číslem 2D, kde fraktální dimenze. N(ε/3)→4.
Pro sobě-podobné objekty dává tato metoda stejné hodnoty jako podobnostní Hausdorffova
dimenze; však snadno algoritmizovatelná funguje pro složité fraktální útvary. další
iteraci opět každé prostřední třetině každé stran přidáme další menší trojúhelník. Získanými body proložíme přímku, jejíž směrnice pak udává fraktální dimenzi
vyšetřovaného útvaru.
Pro nejobvyklejší případ, faktory jsou stejné (ki=k), získáme podobnostní dimenzi řešením
rovnice i=1ΣN
(1/k)DS což dává lnN DH
