V této úvodní kapitole se pokusíme nastínit některé metodologické aspekty stavby fyziky a jejího začlenění do kontextu ostatní přírodovědy a vědeckého poznání vůbec. Tyto metodologické poznámky mohou být zajímavé např. pro studenty a zájemce nefyzikálních profesí, kteří si chtějí udělat ucelený obraz o fyzikálních aspektech zkoumání přírody.
Stačí zjistit, kolik "kopií sama
sebe" jakém měřítku daná struktura obsahuje, její fraktální dimenze bude dána podílem
logaritmů těchto hodnot viz níže. Vločku Kochové můžeme sestrojit sérií postupných trojúhelníkových iterací
podle obrázku. Získá tím číslo které závisí na
velikosti buněk mřížky N(d) čím hustší mřížka (menší d), tím větší Mřížku postupně
zjemňujeme (zmenšujeme analyzujeme funkci N(d) tak, vyneseme log/log grafu [lnN
(d)↔ln(1/d)]. Délka křivky při každém
kroku prodlouží vždy 1/3 (ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé).
Pro sobě-podobné objekty dává tato metoda stejné hodnoty jako podobnostní Hausdorffova
dimenze; však snadno algoritmizovatelná funguje pro složité fraktální útvary.htm (21 25) [15.
Pro nejobvyklejší případ, faktory jsou stejné (ki=k), získáme podobnostní dimenzi řešením
rovnice i=1ΣN
(1/k)DS což dává lnN DH. Pojem podobnostní dimenze tak umožňuje snadno stanovovat
fraktální dimenzi symetrických fraktalů geometrického původu.2008 12:14:14]
.1904
sestrojila švédská matematička Helge van Kochová jako geometrické modelové přiblížení obvodu sněhové vločky
- odtud též název "vločka Kochové". Toto provádíme znova a
znova nekonečna. Při každém dalším kroku bude obrys čím dál jemněji členitý. Takováto křivka tedy "zaplňuje" prostor (rovinu)
poněkud více než pouhá přímka úsečka dimenzí jedná množinu útvar metricky "hustší",
než dalo očekávat jeho topologické dimenze D=1.
Mřížková dimenze
U složitějších fraktálních útvarů, jejichž struktury nevykazují sobě-podobnost, lze fraktální dimenzi
stanovit empirickým způsobem "mřížkového počítání" (box-counting).N(ε). vyšší než dimenze topologická D=1.asučUllmann V. N(ε/3)→4.cz/Gravitace3-3.
V nejjednodušším případě, kdy testovací mřížka zjemňuje faktorem (dvakrát hustší mřížka), počet
započítaných buněk mezi dvěma sobě jdoucími pokrytími násobí číslem 2D, kde fraktální dimenze.iteraci připojíme prostřední třetině každé strany další rovnostranný
trojúhelník třetinové délce strany vznikne 6-cípá hvězda, jejíž obvod skládá úseků délky 1/3.10. další
iteraci opět každé prostřední třetině každé stran přidáme další menší trojúhelník. Lze dokázat, podobnostní dimenze je
rovna Hausdorffově dimenzi. nekonečné limitě počtu kroků n→Ą
dostáváme křivku, jejíž délka 3.(4/3)n nekonečná, avšak obsah plochy omezené touto nekonečnou čarou
zůstává konečný (menší než plocha kruhu opsaného původnímu trojúhelníku, neboť Kochové křivka opsanou
kružnici nikde neprotíná; sečtením konvergující nekonečné řady vychází, roven 8/5 obsahu výchozího
trojúhelníku).
Příklady fraktálních útvarů
Kochova vločka
Jedním nejjednodušších nejzajímavějších příkladů, jak původně Eukleidovsky tvarově jednoduché
geometrické konstrukce může vzniknout složitý fraktální útvar, tzv. Při každé iteraci ε→ε/3 vzniknou (sobě-podobné) části, tj.
http://astronuklfyzika. Přes daný útvar překryje
mřížka dimenzi danou topologickou dimenzí studovaného útvaru) velikosti buněk spočítá
se, kolik buněk obsahuje nějaké body sledovaného útvaru. křivka Kochové; tuto křivku r.: Geometrie topologie prostoro
i=1ΣN
(1/ki)DS . Získanými body proložíme přímku, jejíž směrnice pak udává fraktální dimenzi
vyšetřovaného útvaru.iterace); obvod tedy
skládá tří úseků jednotkové délky. Vyjdeme rovnostranného trojúhelníka jednotkovou délkou strany (1. 2. Podle výše uvedeného
definičního vzorce (ve zjednodušené verzi) tedy Hausdorffova dimenze křivky Kochové vychází: ln4/ln[1/
(1/3)] ln4/ln3 ≅1,261, tj
