V této úvodní kapitole se pokusíme nastínit některé metodologické aspekty stavby fyziky a jejího začlenění do kontextu ostatní přírodovědy a vědeckého poznání vůbec. Tyto metodologické poznámky mohou být zajímavé např. pro studenty a zájemce nefyzikálních profesí, kteří si chtějí udělat ucelený obraz o fyzikálních aspektech zkoumání přírody.
(1/ε) délku úsečky můžeme spočítat
na základě počtu pokrytí N(ε).,N),
je podobnostní dimenze dána vztahem
http://astronuklfyzika.εD.
Tato dimenze kvantifikuje, kolik kopií sebe sama, zmenšených vhodným faktorem, obsahuje daná
množina. Obecně pro D-rozměrný útvar vztah mezi jeho velikostí (mírou) L
(D) počtem pokrytí N(ε) měřítky délky L(D) limε→0N(ε).
Podobnostní dimenze
Pro soběpodobné množiny lze vyslovit další alternativní definici dimenze dimenzi podobnostní. Pro obecný rovinný útvar jeho plochu L(2) lze
vyjádřit jako L(2) limε→0N(ε). Uvažujme nejprve měření úsečky (dimenze D=1) celkové délce kterou
pokryjeme stejně dlouhými intrervaly ("měřítky") délky Počet intervalů N(ε), které pokrývají
celou úsečku, závisí délce intervalů podle vztahu N(ε) L.ε..2008 12:14:14]
.
Spočítáme-li Hausdorffovu dimenzi pro libovolný hladký jednorozměrný útvar (úsečku křivku),
dostaneme DH= pro hladký plošný útvar dostaneme pro běžné trojrozměrné
geometrické útvary Pro geometricky hladké útvary obecně vždy platí Hausdorffova
dimenze rovna dimenzi topologické. Hausdorffovu dimenzi lze považovat určité zobecnění obvyklé (topologické)
dimenze, které lépe vystihuje chování složitých členitých útvarů, než dimenze topologická.ε2. Budeme-li obdobným způsobem měřit délku křivky, budeme
zjemňovat pokrytí, takže délka bude vyjádřena vztahem limε→0N(ε).htm (20 25) [15. Normalizací jednotkovému objemu dostáváme pro dimenzi vztah, který můžeme považovat
za alternativní nezávislou metrickou definici dimenze tzv.
Pokud útvar pravidelný, není nutno počítat limitu pro nekonečné zjemnění měřítka; stačí
porovnat, jakým výsledným faktorem změní stanovená délka vyšetřovaného útvaru při
zjemnění měřítka určitým daným faktorem. Logaritmováním odtud plyne
možnost vyjádřit dimenzi útvaru "objemu" L(D) pomocí vztahu limε→0[ln N(ε)]/[ln L(D)+ ln(1/
ε)].: Geometrie topologie prostoro
objemu, obecně míry. Vztah pro stanovení Hausdorffovy dimenze pak
zjednoduší na:
DH ln(1/ε) ,
kde faktor změny stanovované délky, délka jednoho nově vzniklého dílku při rozdělení
původního útvaru faktorem změny měřítka 1/ε.ε.cz/Gravitace3-3.10. Jestliže zkoumaný objekt obsahuje kopií sama sebe, zmenšených faktory 1/ki (i=1,2,. Podobně případě
dimenze D=2 lze pokrýt plochu čtverce straně počtem N(ε) čtverců straně přičemž pro
celkovou plochu čtverce dostaneme L(2) N(ε).asučUllmann V. Hausdorffovy-Kolmogorovovy
dimenze DH:
DH limε→0[ln N(ε)]/[ln(1/ε)] ,
kde N(ε) počet pokrytí měřeného útvaru měřítky (úsečkami) délky ε..
Fraktální dimenze kvantifikuje stupeň složitosti členitosti objektu tím, jak rychle roste jeho
měřená délka, obsah nebo objem závislosti velikosti měřítka kterým měříme (používá se
zobecněného Richardsonova efektu).ε2. Pro složité členité útvary fraktaly však jejich
Hausdorffova dimenze vyšší než dimenze topologická dána zpravidla neceločíselnou
hodnotou
