Kniha je úvodem do metod praktického modelování, analýzy, návrhu a optimalizace elektrotechnických zařízeni na číslicovém počítači. Výklad je doprovázen jednoduchými názornými příklady řešených úloh z různých odvětví elektrotechniky.Kniha je určena inženýrům a technikům, kteří se zabývají moderním návrhem elektrotechnických zařízení.
6. Přímá Eulerova metoda
Princip numerické integrace soustav nelineárních diferenciálních rovnic lze nej
názorněji ukázat přímé Eulerově metodě, která mnoha dnes známých nume
rických integračních metod nejjednodušší. Pokud výsledky sebe podstatně neliší, výpočet
můžeme považovat ukončený.2. opačném případě musíme délku kroku zkracovat
a integraci opakovat tak dlouho, dokud nedojde shodě dvou následných vý
sledků. Konstanta závislá na
( 1)
typu řádu metody hodnota l)-vé derivace řešení místě odhadu
chyby. Pokud dojde numerické
nestabilitě metody, pak vliv velmi malé chyby postupně naroste míry, že
zcela znehodnotí výpočet. Nejmenšího
počtu kroků, tím největší výpočetní účinnosti dosáhne tehdy, pokud během
integrace délkou kroku automaticky optimalizuje řád metody. Přitom ovšem musíme současně brát ohled přítomnost
chyby integrace. Proto celková chyba řešení zkracujícím neklesá
monotónně, ale pro velmi malá naopak roste. hlediska výpočetní přesnosti
je proto velmi důležité, jak tato akumulace chyb probíhá.20), proto při
jeho rekurzívním použití dochází sdružování neboli akumulaci zbytkových chyb.
Výpočetní účinnost integrační metody zpravidla posuzuje podle celkového
počtu vyhodnocení funkce F(.
Zatím jsme uvažovali pouze místní zbytkové chyby.
Obdobným způsobem akumulují zaokrouhlovací chyby vznikající při numeric
kých výpočtech jednotlivých integračních krocích.) při řešení rovnice f(x f)), který integrační metoda celém intervalu
řešení vyžádá. Žádoucí je, aby vliv místní
chyby vzniklé určitém integračním kroku následujících krocích postupně
zmenšoval, tj. Místní zbytková chyba integrační metody r-tého řádu tedy klesá nule
alespoň tak rychle jako výraz hr+1.
Integraci jediné diferenciální rovnice x(t) f(x, přímou Eulerovou me
294
. poloviční délkou kroku. skutečnosti však jsou
zbytkovými chybami zatíženy hodnoty argumentů výrazu (6.kde činitel označuje jako řád integrační metody.
Pokud možnost automatické volby délky kroku nemáme, musíme při jeho
odhadu vyjít vlastností řešené úlohy. Pro kontrolu třeba integraci zopakovat
např. aby metoda byla numericky stabilní.) při řešení určité rovnice F(x, (nebo funkce
f(.
Pomocí konvergentní integrační metody lze řešení zdánlivě získat libo
volnou přesností.
Výhodné je, pokud během integrace délka integračního kroku automaticky
nastavuje tak, aby celkový počet integračních kroků byl nejmenší, aniž sou
časně některém kroku byla překročena přípustná chyba integrace.2. skutečnosti však při výpočtu řešení intervalu T
se zkracují délkou kroku roste celkový počet aritmetických operací, tím vliv
zaokrouhloracích chyb
