Dirichletovy podmínky tj.9
2. Periodická funkce, Fourierova řada
Jestliže funkce f(x) vyhovuje rovnici
( ]
)
2
(
2 π
π ⋅
+
=
+
= k
x
f
x
f
x
f
pak tuto funkci nazýváme periodickou periodou 2π
Poznámka:
Nejznámější periodické funkce jsou
sin(ωt) cos(ωt) kde ωt
Pro kmitočet 2πf perioda funkce 1/f 2π/ω
pak
t
k
t
k
t
T
k
t ω
π
ω
ω
π
ω
ω sin
)
2
sin(
)
2
(
sin
)
(
sin =
+
=
+
=
⋅
+
⇒funkce periodická
Periodickou funkci lze aproximovat pomocí goniometrického polynomu
[ ]
∑
=
⋅
+
⋅
+
=
n
k
k
k
o
n kx
b
kx
a
b
x
1
)
cos(
)
sin(
)
(
ϕ
Pomocí metody nejmenších čtverců
[ ]
∫ =
⋅
=
⋅
−
π π
ϕ
2
0
2
0
2
2
)
(
)
( MIN
dx
F
dx
x
x
f n
Neznámé koeficienty určí parciálních derivací
0
0
0 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
k
k
o b
F
a
F
b
F
∫
∫
∫
⋅
=
⋅
=
=
π
π
π
π
π
π
2
0
2
0
2
0
0
)
cos(
)
(
1
)
sin(
)
(
1
)
(
2
1
dx
kx
x
f
b
dx
kx
x
f
a
dx
x
f
b
k
k
Pro limitní operaci ∞
→
n dostaneme rozvoj Fourierovu řadu, přičemž periodická
funkce musí splňovat tzv.:
• funkce musí být omezená
.1
